Giải thưởng Fields

Giải thưởng Fields, giải thưởng cao quý nhất dành cho các nhà phát triển toán học xuất sắc, được trao cho một hoặc hai, ba, bốn nhà toán học không quá 40 tuổi trong hội nghị của Liên Đoàn Toán học quốc tế International Mathematical Union (IMU), họp 4 năm 1 lần. Fields là tên của nhà toán học người Canada John Charles Fields, người đã lập giải bằng tiền gia sản của mình. Lần thứ nhất trao giải là năm 1936 cho hai nhà toán học Lars Ahlfors và Jesse Douglas. Từ năm 1950 cứ 4 năm tổ chức lễ trao giải một lần  Từ năm 2006  số tiền thưởng của giải là 15000 đô la Canada.

DANH SÁCH CÁC QUỐC GIA CÓ CÁC NHÀ TOÁN HỌC ĐÃ ĐƯỢC TRAO GIẢI FIELDS (TÍNH ĐẾN 2010)

NĂM	NƠI TRAO GIẢI	NHÀ TOÁN HỌC CỦA QUỐC GIA VÀ TRƯỜNG NHẬN GIẢI
1936	Oslo, Norway	Lars Ahlfors, Finland, University of Helsinki Jesse Douglas, USA, Massachusetts Institute of Technology
1950	Cambridge, United States	Laurent Schwartz, France, University of Nancy Atle Selberg, Norway, Institute for Advanced Study
1954	Amsterdam, The Netherlands	Kunihiko Kodaira, Japan, Princeton University Jean-Pierre Serre, France, Centre National de la Recherche Scientifique
1958	Edinburgh, United Kingdom	Klaus Roth, UK, University of London René Thom, France, University of Strasbourg
1962	Stockholm, Sweden	Lars Hörmander, Sweden, University of Stockholm John Milnor, USA, Princeton University
1966	Moscow, Soviet Union	Michael Atiyah, UK, University of Oxford Paul Joseph Cohen, USA, Stanford University Alexander Grothendieck, Institut des Hautes Études Scientifiques Stephen Smale, USA, University of California, Berkeley
1970	Nice, France	Alan Baker, UK, University of Cambridge Heisuke Hironaka, Japan, Harvard University Sergei Novikov, Soviet Union, Moscow University John G. Thompson, USA, University of Cambridge
1974	Vancouver, Canada	Enrico Bombieri, Italy, University of Pisa David Mumford, USA, Harvard University
1978	Helsinki, Finland	Pierre Deligne, Belgium, Institut des Hautes Études Scientifiques Charles Fefferman, USA, Princeton University Grigory Margulis, Soviet Union, Moscow University Daniel Quillen, USA, Massachusetts Institute of Technology
1982	Warsaw, Poland	Alain Connes, France, Institut des Hautes Études Scientifiques William Thurston, USA, Princeton University Shing-Tung Yau, USA[9], Institute for Advanced Study
1986	Berkeley, United States	Simon Donaldson, UK, University of Oxford Gerd Faltings, Germany, Princeton University Michael Freedman, USA, University of California, San Diego
1990	Kyoto, Japan	Vladimir Drinfel'd, Soviet Union, Kharkov Institute of Physics and Technology Vaughan F. R. Jones, New Zealand, University of California, BerkeleyShigefumi Mori, Japan, University of Kyoto Edward Witten, USA, Institute for Advanced Study
1994	Zürich, Switzerland	Jean Bourgain, Belgium, Institute for Advanced Study Pierre-Louis Lions, France, Paris Dauphine University Jean-Christophe Yoccoz, France, Paris-Sud 11 University Efim Zelmanov, Russia, University of Wisconsin
1998	Berlin, Germany	Richard Borcherds, UK, University of California, Berkeley and University of Cambridge Timothy Gowers, UK, University of Cambridge Maxim Kontsevich, Russia, Institut des Hautes Études Scientifiques and Rutgers University Curtis T. McMullen, USA, Harvard University
2002	Beijing, China	Laurent Lafforgue, France, Institut des Hautes Études Scientifiques Vladimir Voevodsky, Russia, Institute for Advanced Study
2006	Madrid, Spain	Andrei Okounkov, Russia, Princeton University Grigori Perelman, Russia — Medal declined, St. Petersburg Terence Tao, Australia, University of California, Los Angeles Wendelin Werner, France, Paris-Sud 11 University
2010	Hyderabad, India	Elon Lindenstrauss, Israel, Hebrew University of Jerusalem [10]- Ngô Bảo Châu, Vietnam-France[11][12][13], Paris-Sud 11 University and Institute for Advanced Study Stanislav Smirnov, Russia, University of Geneva Cédric Villani, France, École Normale Supérieure de Lyon[14] and Institut Henri Poincaré

Ngô Bảo Châu: 15 năm với Bổ đề cơ bản

Con đường đến với toán học của Ngô Bảo Châu khá gập ghềnh nhưng nếu ông không chọn toán học thì nó cũng chọn ông. Ngô Bảo Châu tâm sự: “Toán không giống với văn. Nếu như ai cũng có thể nhảy vào bình luận, chê bai văn thì lại rất ít người hiểu toán để đánh giá nên tôi có thể âm thầm làm. Như thế đôi khi đạt hiệu quả hơn. Làm văn và làm nghệ thuật đôi khi cũng dễ chịu áp lực làm sao để tác phẩm của mình được công chúng biết đến, còn người làm toán chịu áp lực với bản thân nhiều hơn”.

• Tóm tắt bổ đề cơ bản của GS Ngô Bảo Châu

Cho đến nay, thành tựu giải quyết Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu vẫn được cho là công trình vĩ đại đối với một nhà toán học trẻ. Nhưng cái Bổ đề cơ bản của chương trình Langlands ấy cũng nhiều phen làm khổ nhà toán học Việt Nam.

Ông kể: “Năm 1993, khi làm luận án tiến sĩ, tôi đã bắt đầu nghĩ đến chuyện giải quyết bổ đề, dù luận án đó là viết về một công trình khác”.

Ngô Bảo Châu từng tâm sự trên blog cá nhân câu chuyện “15 năm cô đơn với bổ đề”. Trước khi ông tiếp xúc với bổ đề, bài toán này đã tồn tại 15 năm mà chưa ai giải quyết được. Chính Ngô Bảo Châu cũng phải mất 15 năm để đi tới đích và chiến thắng trong “cuộc chiến” mà nhiều nhà toán học đã dấn thân nhưng thất bại.

Năm 2001, Ngô Bảo Châu bắt đầu tới Chicago - Mỹ và hạ quyết tâm giải quyết Bổ đề cơ bản. Khi đó, ông gặp nhiều nhà toán học đã thất bại trước bổ đề và rơi vào trạng thái khủng hoảng tinh thần. “Tôi có một anh bạn người Mỹ nghiên cứu bổ đề rất lâu nhưng thất bại. Anh ấy nói với tôi về tất cả những khó khăn nếu dấn thân vào lĩnh vực này. Lúc ấy tôi cũng lo nhưng vẫn có niềm tin” - Ngô Bảo Châu kể.
Trước khi Ngô Bảo Châu khơi lại Bổ đề cơ bản, giới toán học gần như đã bỏ lĩnh vực này và coi như đó sẽ mãi là một bài toán không có lời giải. Ngô Bảo Châu vẫn âm thầm vừa giảng dạy ở Pháp vừa làm Bổ đề cơ bản.

Có một câu chuyện mà ông vẫn nhớ mãi: “Một lần đi xin việc ở Pháp, tôi nói với những người sẽ tuyển mình rằng tôi đang nghiên cứu bổ đề và họ đã cười phá lên. Có người không hiểu bổ đề là gì, có người hiểu thì nghĩ rằng tôi quá ngạo mạn. Thế là tôi không được nhận việc”.

Ngô Bảo Châu quan niệm toán học cũng chỉ là một phần của cuộc sống, còn Bổ đề Langlands chỉ là một phần của toán học nên nếu có thất bại thì ông cũng sẽ không quá buồn.
“Tôi sợ nhất là mình làm nhưng lại cho đáp án sai thôi, còn làm mà không ra là chuyện bình thường”- ông tâm sự. Có lẽ chính vì quan niệm nhẹ nhàng như vậy nên Ngô Bảo Châu đã thực hiện được công trình để đời.

Bổ đề cơ bản do nhà toán học Langlands người Canada đề xuất. Ông cũng là nhà toán học mà Ngô Bảo Châu ngưỡng mộ nhất. Bố mẹ Langlands là người bình thường, ông cũng không được thụ hưởng một nền giáo dục hàng đầu nhưng đã đề xuất một trong những câu hỏi vĩ đại nhất của toán học hiện đại: Bổ đề cơ bản - tìm câu trả lời cho sự thống nhất giữa hình học và số học.

GS Ngô Bảo Châu tâm sự: “Bổ đề đã được giải quyết rồi nhưng vẫn còn nhiều câu hỏi khác nữa. Tôi cũng luôn cố gắng để tránh rơi vào tình trạng hụt hẫng và chán nản như nhiều nhà toán học sau khi có được những công trình lớn và ngày càng già đi”.

Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands

(The Fundamental Lemma and Langlands Program) Tạp chí Time vừa bình chọn 10 khám phá khoa học nổi bật nhất trong năm 2009, trong đó có chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu, một nhà toán học người Việt đang làm việc ở Pháp và Mỹ. Đây là thành tích nổi bật nhất về khoa học của người Việt Nam từ trước đến nay. Đọc thông tin về Bổ đề này tôi thấy rất khó hiểu, khó hiểu hơn rất nhiều lần khi tôi đọc về Định đề Poincare và huy chương Fields cho nhà toán học Nga Perelman. Có thể về Định đề Poincare và câu chuyện của Perelman có bài viết rất xuất sắc của Nasar và Grube trên tạp chí The New Yorker nên tôi có thể nắm bắt được vấn đề. Tôi cũng muốn đọc một bài viết tương tự như thế về Bổ đề cơ bản này, nhưng hiện nay tôi không tìm thấy một bài viết nào như vậy. Nếu không có bài viết nào thì tại sao tôi không thử viết về chính nó như một cách tôi hiểu nó như thế nào?

Câu chuyện có lẽ phải quay về Galois, nhà toán học người Pháp, người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois là câu chuyện về một thiên tài đoản mệnh mang âm hưởng như một sáng tác văn chương. Trong đêm cuối cùng của cuộc đời mình, Galois để lại bức thư tuyệt mệnh trong đó có nêu phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a. Nhưng định lý Abel không cho biết khi nào phương trình đa thức có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois. Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois. Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.

Từ thế kỷ 17 Fermat, một nhà toán học Pháp, từng đặt câu hỏi một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17... Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm. Đầu thế kỷ 20 Artin, một nhà toán học Áo tổng quát thành định luật nghịch đảo mà bây giờ được mang tên ông. Đến năm 1967 Langlands, một nhà toán học Mỹ gốc Canada, tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu. Hình thức tự cấu có thể coi là những hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hay cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác chúng bất biến nếu ta dịch chuyển cả đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2 pi. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands chỉ ra tương lai của lý thuyết số là ở hiểu biết các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hay ở các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy một số (ví dụ như số 4 trong định lý Fermat kể trên là chu kỳ cho số nguyên tố lẻ có tính chất là tổng của hai số chính phương) thực ra là một ma trận 1x1. Như vậy sự dịch chuyển chu kỳ kiểu như vậy trong định lý Fermat kể trên có thể biểu diễn bằng một số hay một ma trận 1x1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.

Các nhà toán học khi khám phá các quy luật toán học thường hay phát biểu dưới dạng định đề, tức là một mệnh đề toán học mà có lẽ nó đúng nhưng hiện tại chưa chứng minh được hay mới chỉ chứng minh được tính đúng của nó cho một số trường hợp con. Bằng cách nào mà các nhà toán học phát minh ra được các định đề là một điều bí ẩn, ít nhất là trong cảm nhận của tôi. Tôi có cảm giác đó như là một nghệ thuật hay là một dạng mặc khải về cái đẹp, có nghĩa là chúng ta chỉ có thể kinh ngạc hay sững sờ về chúng mà không thể tài nào lý giải được tại sao chúng lại có thể xuất hiện và hợp lý đến thế. Năm 1967 Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, mà cụ thể hơn là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Đấy là chương trình Langlands, và là một lý thuyết thống nhất lớn của toán học trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số.

Bổ đề cơ bản nằm trong chương trình Langlands. Nó là một kết quả quan trọng trong lý thuyết hình thức tự cấu. Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá hiện tượng về hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu Labesse và Langlands mới chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Năm 2008 Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả trường hợp và kết quả được khẳng định vào năm nay. Như vậy Ngô Bảo Châu đặt dấu chấm hết cuối cùng cho Bổ đề cơ bản, kết thúc lịch sử 30 năm của nó.